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[轉貼] 【數學哲學】數的本質:我知道3是質數 但3本身是什麼?

【數學哲學】數的本質:我知道3是質數 但3本身是什麼?

數學是人類最重要的知識與學科。大多數人都學過數學,但很少人會像哲學家一樣用特別的眼光審視與關注數學的問題。譬如,我們當然知道 1+1=2 、 3 是質數、 4 是偶數,但很少人會追問:這些自然數 1 、2 、3 、4 ……到底是什麼?

對於上述問題,一個典型答法是:自然數就是我們在言說、書寫、計算時使用的符號,也就是你現在讀這文章時見到的數字記號:”1”、”2”、”3”、”4”。但問題並沒有那麼簡單。我們可以這樣想:我們知道「三」、「 3 」、「 three 」這三者同樣在表達同一個東西,即  { 3 }  這個概念;哲學家真正要問的是, { 3 } 這個概念到底是指稱什麼東西?這個概念真的只是指稱 「 3 」、 「三」、「 three 」這些數字符號嗎,還是指稱著自然數 3 本身?這疑問就像問「阿捷」、「 Bacchus Pang 」這些單稱詞表達著 { 阿捷 } 這個概念,而 { 阿捷 } 這個概念指稱著什麼-當然是阿捷這個具體的人,而不是「阿捷」這個單稱詞。

這些數學物件到底是什麼東西?
也許你不以為然:「自然數(例如 3 )當然存在,否則我們怎樣使用它們作運算?你現在不就是把它寫出來了嗎?」

但是,正如本文一開始的分析,當我們說 3 存在,不是指「 3 」這個數字符號存在,而是指 3 這個數學物件存在,就像當我們說阿捷存在,不是說「阿捷」這個單稱詞存在,而是有阿捷這樣的物件存在。

問題是,當我們說阿捷、牛頓、喜馬拉雅山、電腦這些物件存在,我們並不會感到困惑,因為它們都是具體的存在物,它們都佔據時空位置,可以被我們觀察、感知到。然而,當我們說存在著數學物件 3 ,這個 3 到底是一個怎樣的存在物?

我們可以擦掉寫在黑板上「 3 」的數字符號,可以把「 3 」這個數字符號打在電腦上,但我們似乎無法擦掉或打出 3 本身。我們只是借助諸如「 3 」或「 three 」的符號來指稱它; 3 這個數本身,好像是一種抽象的、非時空的存在。

柏拉圖的數學理型論
假如你認為數學物件是一種抽象、非時空的存在,那麼你的看法便和大哲學家柏拉圖一樣。

柏拉圖是歷史上知名的數學哲學家。據說柏拉圖學院的入口處刻著「不懂幾何學者勿入」。柏拉圖認為我們身處的實現(物理)世界並不完美,經常變幻莫測。但他相信有一個完美的理型世界,在這個世界存在著真實 (reality) 而永恆不變的東西(他稱之為「理型」);而我們實現接觸到的事物都不過是這些理型的副本或影子吧了,就正如現實世界並無完美的圓形-完美的圓形只存在著於非時空領域的理型世界。

柏拉圖認為數學陳述具有永恆不變的特質(必然為真),數學物件也是永恆不滅( e.g. 圓形的理型是永恆不滅)。也許基於這點,他相信數學能為我們周圍變化流動的物理世界與理想完美的理型世界之間的鴻溝提供了搭橋。因此,他相信數學是瞭解實在而非表象的真正訓練。

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